定樁法(法二)

圖文作者
牟善豪
使用軟體
AutoCAD

又稱木樁校正法,用於校正水準儀視準軸不平行於水準軸之誤差。定樁法分爲「內外法」與「外外法」兩種;本文係「外外法」。

於測站一

首先,將水準儀架設在標尺 $A$ 外側之 $S_1$ 位置上,$\overline {S_1A}$ 之距離等於 $\overline {AB}$。儀器定平後,後視標尺 $A$ 與前視標尺 $B$,得讀數 $b_1$ 與 $f_1$。

設視準軸誤差角爲 $\alpha$,於 $S_1$ 所觀測之 $AB$ 之高程差雖爲 $b_1-f_1$,但 $AB$ 實際高程差應爲:

\begin{align}
\Delta H_{AB} &= b’_1-f’_1 \\ \\ & = (b_1-d \cdot \tan \alpha)-(f_1-2d \cdot \tan \alpha)
\end{align}

於測站二

再將水準儀移動至標尺 $B$ 外側之 $S_2$ 上,$\overline {BS_2}$ 之距離等於 $\overline {AB}$。儀器定平後,再次後視標尺 $A$ 與前視標尺 $B$,得讀數 $b_2$ 與 $f_2$。

視準軸誤差角同爲 $\alpha$,於 $S_2$ 所觀測之 $AB$ 之高程差雖爲 $b_2-f_2$,但 $AB$ 實際高程差應爲:

\begin{align}
\Delta H_{AB} &= b’_2-f’_2 \\ \\ & = (b_2-2d\cdot \tan \alpha)-(f_2-d\cdot \tan \alpha)
\end{align}

計算

於 $S_1$ 及 $S_2$ 觀測得之 $AB$ 高程差:

$\Delta H_{AB}(S_1)=b_1-f_1$
$\Delta H_{AB}(S_2)=b_2-f_2$

於 $S_2$ 及 $S_1$ 觀測所得之高程差若相等,代表視準軸無誤差,無需校正;若不相等,則代表視準軸含有角度 $\alpha$ 的誤差,需進行校正:

$b_2-f_2=b_1-f_1$(無需校正)
$b_2-f_2\neq b_1-f_1$(需校正)

每單位之視準軸誤差量 $\sigma$:

$ \because \ \Delta H_{AB} = b’_1-f’_1 = b’_2-f’_2 \\ \\ $

$ (b_1-d \cdot \tan \alpha)-(f_1-2d \cdot \tan \alpha) = (b_2-2d\cdot \tan \alpha)-(f_2-d\cdot \tan \alpha) \\ \\ $

$ 2d \cdot \tan \alpha = (b_2-f_2)-(b_1-f_1) \\ \\ $

$$ \therefore \ \sigma=\tan \alpha={\Delta H_{AB}(S_2)- \Delta H_{AB}(S_1) \over 2d} $$

視準軸誤差角 $\alpha$:

$$\alpha=\tan^{-1} \ {\Delta H_{AB}(S_2)- \Delta H_{AB}(S_1) \over 2d}$$

若 $\alpha$ 值爲正:視準軸誤差向上;
若 $\alpha$ 值爲負:視準軸誤差向下。

於 $S_2$ 觀測時,標尺 $A$ 應有之正確讀數:

$$ b’_2 = b_2-2d\cdot \tan \alpha $$

校正方法

儀器維持在 $S_2$ 處,調整十字絲校正螺旋,使得橫十字絲(中絲)對 $A$ 標尺之讀數爲 $b’_2$。

 

例題

以 $A$、$B$ 二木樁施行水準儀定樁法校正,先於 $S_1$ 位置架設儀器觀測 $A$、$B$ 點上標尺之讀數分別爲:$b_1 =1.538 \ m$ 及 $f_1 = 1.305 \ m$,再將儀器移至 $S_2$ 位置觀測得 $A$、$B$ 兩標尺讀數分別爲:$b_2 =1.642 \ m$ 及 $f_2 =1.405 \ m$,$\overline {S_1A}$、$\overline {AB}$、$\overline {BS_2}$ 皆爲 $25 \ m$,試求:

  • 於 $S_1$ 及 $S_2$ 觀測得之高程差 $\Delta H_{AB}$
  • 每公尺之視準軸誤差量 $\sigma$
  • 視準軸誤差角 $\alpha$
  • 於 $S_2$ 觀測時,標尺 $A$ 應有之正確讀數
  • 經校正後之高程差 $\Delta H_{AB}$

【105 年鐵路特考員級測量學概要第 2 題】

 

於 $S_1$ 及 $S_2$ 觀測得之 $AB$ 高程差:

\begin{align}
\Delta H_{AB}(S_1) &=b_1-f_1\\ \\
&=1.538-1.305 \\ \\
&=0.233 \ m
\\ \\
\Delta H_{AB}(S_2) &=b_2-f_2\\ \\
&=1.642-1.405 \\ \\
&=0.237 \ m
\end{align}

每公尺之視準軸誤差量 $\sigma$:

$ \because \ \Delta H_{AB} = b’_1-f’_1 = b’_2-f’_2 \\ \\ $

$ (b_1-d \cdot \tan \alpha)-(f_1-2d \cdot \tan \alpha) = (b_2-2d\cdot \tan \alpha)-(f_2-d\cdot \tan \alpha) \\ \\ $

$ (1.538-25 \cdot \tan \alpha)-(1.305-50 \cdot \tan \alpha) = (1.642-50 \cdot \tan \alpha)-(1.405-25\cdot \tan \alpha) \\ \\ $

$ 50 \cdot \tan \alpha = 0.004 \\ \\ $

$$ \therefore \ \sigma=\tan \alpha=8\times 10^{-5} \ m $$

視準軸誤差角 $\alpha$:

$ \alpha=\tan^{-1} (8\times 10^{-5}) =16.5” $(偏上)

於 $S_2$ 觀測時,標尺 $A$ 應有之正確讀數:

\begin{align}
b’_2 &= b_2-2d\cdot \tan \alpha \\ \\
&= 1.642-50 \cdot \tan \ 16.5” \\ \\
&= 1.638 \ m
\end{align}

經校正後之高程差 $\Delta H_{AB}$:

\begin{align}
\Delta H_{AB}&=b’_2-f’_2\\\\
&=(b_2-2d\cdot \tan \alpha)-(f_2-d\cdot \tan \alpha) \\ \\
&=(1.642-50 \cdot \tan \ 16.5”)-(1.405-25 \cdot \tan \ 16.5”) \\\\
&=1.638-1.403 \\\\
&=0.235 \ m
\end{align}

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