測站歸心計算

圖文作者
牟善豪
使用軟體
AutoCAD

在偏心點觀測水平角,然後將觀測結果透過三角函數,歸算至相當於原測點所求角度之計算方法。

觀測

以 $A$ 爲原測點,欲觀測 $\angle BAC$ 之角度 $\alpha$。但因 $A$ 點現場環境不能架設經緯儀,故以距離 $e$ 處之 $D$ 作爲偏心點,觀測 $\angle BDC$ 與 $\angle BDA$,分別得 $\beta$ 角與 $\gamma$ 角。

 

計算

角 $\beta_1$ 與 $\beta_2$:

\begin{align}
\beta_1&=360°-\gamma \\\\
\beta_2&=\beta_1+\beta
\end{align}

角 $x_1$ 與 $x_2$:

\begin{align}
&\frac {\sin x_1}{e}=\frac {\sin \beta_1}{s_1} \\\\
\Rightarrow \ &x_1=\sin^{-1} \left( \frac {e}{s_1} \cdot \sin \beta_1 \right) \\\\\\\\
&\frac {\sin x_2}{e}=\frac {\sin \beta_2}{s_2} \\\\
\Rightarrow \ &x_2=\sin^{-1} \left( \frac {e}{s_2} \cdot \sin \beta_2 \right)
\end{align}

角 $\alpha$:

\begin{align}
&\alpha + x_1 = \beta + x_2 \\\\
\Rightarrow \ &\alpha=\beta+x_2-x_1
\end{align}

 

例題

原測點 $A$ 不能架設儀器觀測角度,故於偏心點 $D$ 整置經緯儀觀測水平角 $\beta$ 與 $\gamma$,分別得 $53^{\circ}03^{\prime}32^{\prime\prime}$ 與 $310^{\circ}48^{\prime}16^{\prime\prime}$;設偏心距 $e$ 爲 $0.710 \ m$,且 $s_1$、$s_2$ 分別爲 $832 \ m$、 $767 \ m$,則 $\alpha$ 角之值爲何?

角 $\beta_1$ 與 $\beta_2$:

\begin{align}
\beta_1&= 360^{\circ} -\gamma \\\\
&=360^{\circ}-310^{\circ}48^{\prime}16^{\prime\prime}\\\\
&=49^{\circ}11^{\prime}44^{\prime\prime}\\\\\\
\beta_2&=\beta_1+\beta\\\\
&=49^{\circ}11^{\prime}44^{\prime\prime}+53^{\circ}03^{\prime}32^{\prime\prime}\\\\
&=102^{\circ}15^{\prime}16^{\prime\prime}
\end{align}

角 $x_1$ 與 $x_2$:

\begin{align}
x_1&=\sin^{-1} \left( \frac {e}{s_1} \cdot \sin \beta_1 \right) \\\\
&=\sin^{-1} \left( \frac {0.710}{832} \cdot \sin \ 49^{\circ}11^{\prime}44^{\prime\prime} \right) \\\\
&=0^{\circ}02^{\prime}13.24^{\prime\prime} \\\\\\
x_2&=\sin^{-1} \left( \frac {e}{s_2} \cdot \sin \beta_2 \right)\\\\
&=\sin^{-1} \left( \frac {0.710}{767} \cdot \sin \ 102^{\circ}15^{\prime}16^{\prime\prime} \right) \\\\
&=0^{\circ}03^{\prime}06.59^{\prime\prime}
\end{align}

角 $\alpha$:

\begin{align}
\alpha&=\beta+x_2-x_1\\\\
&=53^{\circ}03^{\prime}32^{\prime\prime}+0^{\circ}03^{\prime}06.59^{\prime\prime}-0^{\circ}02^{\prime}13.24^{\prime\prime} \\\\
&=53^{\circ}04^{\prime}25.35^{\prime\prime}
\end{align}

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